Вычислите (решение полностью) корень из 2 /2 -(cos П/8 + sin П/8)^2=

Для решения данного уравнения, начнем с раскрытия скобок во втором слагаемом: (cos П/8 + sin П/8)^2 = cos^2(П/8) + 2sin(П/8)cos(П/8) + sin^2(П/8) Теперь выразим sin(П/8) и cos(П/8) через корень из 2 и деление на 2, так как sin(П/8) = √2/2 и cos(П/8) = √2/2: (cos П/8 + sin П/8)^2 = (√2/2)^2 + 2(√2/2)(√2/2) + (√2/2)^2 (cos П/8 + sin П/8)^2 = 2/4 + 2/4 + 2/4 (cos П/8 + sin П/8)^2 = 6/4 = 3/2

Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение: √2/2 - 3/2 = (√2 - 3)/2

Таким образом, решением уравнения будет (√2 - 3)/2.

Корень из 2 /2 -(cos П/8 + sin П/8)^2 = -1/2.

Чтобы вычислить выражение (\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos(\pi/8) + \sin(\pi/8))^2), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Вспомним формулы для косинуса и синуса половинного угла:

   • (\cos(\pi/8)) и (\sin(\pi/8)) можно выразить через корни и тригонометрические функции: [ \cos(\pi/8) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ] [ \sin(\pi/8) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

2. Найдём значение ((\cos(\pi/8) + \sin(\pi/8))^2):

   • Подставим выражения для (\cos(\pi/8)) и (\sin(\pi/8)): [ (\cos(\pi/8) + \sin(\pi/8))^2 = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 ] [ = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 ]

   • Упростим выражение под квадратом: [ \text{Заметим, что: } (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})^2 = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) + 2\sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} ] [ = 4 + 2\sqrt{4 - 2} = 4 + 2\sqrt{2} ]

   • Поэтому: [ \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ]

3. Теперь подставим это в изначальное выражение: [ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ]

4. Упростим: [ = -1 ]

Таким образом, значение выражения (\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos(\pi/8) + \sin(\pi/8))^2) равно (-1).