Вычислите сумму 50^2 – 49^2 + 48^2 – 47^2 + … + 2^2 – 1^2.
Вычислите сумму 50^2 – 49^2 + 48^2 – 47^2 + … + 2^2 – 1^2.
Для вычисления суммы ( 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \ldots + 2^2 - 1^2 ) можно воспользоваться формулой разности квадратов, которая гласит, что:
[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). ]
В нашем случае каждое выражение вида ( n^2 - (n-1)^2 ) можно записать с использованием этой формулы. Например:
[ n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1. ]
Таким образом, мы можем переписать всю сумму:
[ 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \ldots + 2^2 - 1^2 = (50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + \ldots + (2^2 - 1^2). ]
Теперь подставляем формулу:
[ = (2 \cdot 50 - 1) + (2 \cdot 48 - 1) + (2 \cdot 46 - 1) + \ldots + (2 \cdot 2 - 1). ]
Это будет выглядеть так:
[ = (100 - 1) + (96 - 1) + (92 - 1) + \ldots + (4 - 1). ]
Теперь заметим, что в каждом из этих слагаемых мы вычитаем 1, поэтому мы можем сначала сосчитать сумму всех ( 2n ), а затем вычесть количество слагаемых.
Сначала посчитаем количество пар. Пары начинаются от ( 50 ) и заканчиваются на ( 2 ), то есть у нас есть:
[ 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. ]
Всего 50 чисел, а это значит 25 пар. Теперь можем записать сумму:
[ = \sum{k=1}^{50} (2k - 1) = \sum{k=1}^{25} (100 - 4k + 2) = 100 \cdot 25 - 4 \sum_{k=1}^{25} k + 2 \cdot 25. ]
Сумма первых 25 натуральных чисел:
[ \sum{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \sum{k=1}^{25} k = \frac{25 \cdot 26}{2} = 325. ]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
[ = 100 \cdot 25 - 4 \cdot 325 + 50. ]
Считаем:
[ = 2500 - 1300 + 50 = 2500 - 1300 + 50 = 1200 + 50 = 1250. ]
Таким образом, итоговая сумма равна:
[ \boxed{1250}. ]
Сумма ( 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \ldots + 2^2 - 1^2 ) может быть упрощена с помощью формулы разности квадратов: ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ).
Каждая пара имеет вид:
[ n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1)) = 1 \cdot (2n - 1) = 2n - 1 ]
Таким образом, мы можем записать сумму как:
[ (50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + \ldots + (2^2 - 1^2) = (2 \cdot 50 - 1) + (2 \cdot 48 - 1) + \ldots + (2 \cdot 2 - 1) ]
Сумма всех нечетных чисел от 1 до 99:
[ = 99 + 97 + 95 + \ldots + 1 ]
Это арифметическая прогрессия с первым членом 1, последним 99 и количеством членов, равным 50. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) ]
где ( n ) — количество членов, ( a ) — первый член, ( l ) — последний член.
Подставляем:
[ S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (1 + 99) = 25 \cdot 100 = 2500 ]
Таким образом, искомая сумма равна ( 2500 ).
Для вычисления суммы ( 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 2^2 - 1^2 ), обратим внимание на структуру выражения. Мы видим, что числа идут парами: квадрат большего числа вычитается из квадрата меньшего. Например, ( 50^2 - 49^2 ), ( 48^2 - 47^2 ), и так далее.
Используем формулу разности квадратов: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). ] Применяя её к каждой паре, получаем: [ 50^2 - 49^2 = (50 - 49)(50 + 49) = 1 \cdot 99 = 99, ] [ 48^2 - 47^2 = (48 - 47)(48 + 47) = 1 \cdot 95 = 95, ] [ 46^2 - 45^2 = (46 - 45)(46 + 45) = 1 \cdot 91 = 91, ] и так далее.
Каждое выражение имеет вид ( 1 \cdot (a + b) ), где ( a + b ) — это сумма чисел из пары. Заметим, что сумма чисел уменьшается в последовательности: ( 99, 95, 91, \dots ).
Суммы чисел из пар образуют арифметическую прогрессию: [ 99, 95, 91, \dots, 3. ] Для арифметической прогрессии общая формула общего члена: [ a_n = a_1 + (n - 1)d, ] где:
Чтобы найти количество членов (( n )), используем условие, что последний член равен ( 3 ): [ a_n = 3 \implies 99 + (n - 1)(-4) = 3. ] Решаем уравнение: [ 99 - 4n + 4 = 3, ] [ 103 - 4n = 3, ] [ 4n = 100 \implies n = 25. ]
Значит, в последовательности 25 членов.
Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n), ] где ( n = 25 ), ( a_1 = 99 ), ( an = 3 ). Подставляем: [ S{25} = \frac{25}{2} (99 + 3) = \frac{25}{2} \cdot 102 = 25 \cdot 51 = 1275. ]
Сумма ( 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 2^2 - 1^2 ) равна ( \mathbf{1275} ).
