Выполнить деление многочленов (x^4+x^3+x^2-x-2):(x^3+x-2)

Чтобы выполнить деление многочленов ( P(x) = x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 ) на ( D(x) = x^3 + x - 2 ), мы будем использовать метод уголкового деления (аналогичен делению в столбик для чисел). Цель состоит в том, чтобы выразить многочлен в виде ( P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) ), где ( Q(x) ) — частное, а ( R(x) ) — остаток, степень которого должна быть меньше степени делителя.

Шаг 1: Определение первой части частного

1. Возьмите старший член делимого ( x^4 ) и разделите его на старший член делителя ( x^3 ). Получаем ( x ).

2. Умножьте весь делитель ( D(x) = x^3 + x - 2 ) на ( x ), получая ( x \cdot (x^3 + x - 2) = x^4 + x^2 - 2x ).

3. Вычтите полученное из исходного многочлена:

[ (x^4 + x^3 + x^2 - x - 2) - (x^4 + x^2 - 2x) = x^3 + x + 2x - 2 = x^3 + 3x - 2 ]

Шаг 2: Определение второй части частного

1. Разделите теперь старший член нового многочлена ( x^3 ) на старший член делителя ( x^3 ). Получаем ( 1 ).

2. Умножьте весь делитель на ( 1 ), получая ( x^3 + x - 2 ).

3. Вычтите это произведение из нового многочлена:

[ (x^3 + 3x - 2) - (x^3 + x - 2) = 2x ]

Шаг 3: Определение остатка

Остаток ( 2x ) имеет степень меньше, чем делитель ( x^3 ), поэтому деление завершено.

Итак, частное ( Q(x) = x + 1 ) и остаток ( R(x) = 2x ).

Ответ: [ x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = (x^3 + x - 2) \cdot (x + 1) + 2x ]

x + 1

Для выполнения деления многочленов (x^4+x^3+x^2-x-2) на (x^3+x-2) нужно применить метод долгого деления.

1. Делим первый член делимого на первый член делителя: (x^4)/(x^3) = x, записываем x в результат.
2. Умножаем делитель на x: x*(x^3+x-2) = x^4+x^2-2x.
3. Вычитаем полученное из делимого: (x^4+x^3+x^2-x-2) - (x^4+x^2-2x) = x^3-2x-2.
4. Делим первый член оставшегося многочлена на первый член делителя: (x^3)/x = x, записываем x в результат.
5. Умножаем делитель на x: x*(x^3+x-2) = x^4+x^2-2x.
6. Вычитаем полученное из оставшегося многочлена: (x^3-2x-2) - (x^3-x-2) = -x-2.
7. Остаток -x-2 уже меньше делителя, поэтому деление закончено.

Таким образом, результат деления многочленов (x^4+x^3+x^2-x-2) на (x^3+x-2) равен x^2+x-1, остаток -x-2.