X (t) = t2-3 t, t0 = 4 Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени; Скорость и ускорение в момент времени t04 Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении; Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
Для нахождения средней скорости движения на указанном отрезке времени необходимо найти разность значений функции X(t) в конечный и начальный моменты времени, и разделить эту разность на разность временных интервалов.
Таким образом, средняя скорость движения будет равна (X(т) - X(т0))/(t - t0) = ((t^2 - 3t) - (4^2 - 3*4))/(t - 4) = (t^2 - 3t - 16 + 12)/(t - 4) = (t^2 - 3t - 4)/(t - 4).
Для нахождения скорости и ускорения в момент времени t=4 необходимо найти первую и вторую производные функции X(t).
X'(t) = 2t - 3 X''(t) = 2
Таким образом, скорость в момент времени t=4 будет равна X'(4) = 2*4 - 3 = 5, а ускорение в этот момент времени будет равно X''(4) = 2.
Моменты остановки находятся при равенстве скорости нулю, то есть X'(t) = 0. Решив уравнение 2t - 3 = 0, получим t = 3/2. Таким образом, точка остановится в момент времени t=3/2.
Чтобы определить продолжает ли точка двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном, нужно проанализировать знак производной функции X(t) в окрестности момента времени t=3/2. Если производная положительна, то точка продолжает двигаться в том же направлении, если отрицательна - то начинает двигаться в противоположном.
Наибольшая скорость движения на указанном отрезке времени будет достигаться в точке экстремума функции X(t), то есть при равенстве производной нулю. Решив уравнение 2t - 3 = 0, получим t = 3/2. Таким образом, наибольшая скорость движения будет достигаться в момент времени t=3/2 и будет равна X'(3/2) = 2*(3/2) - 3 = 0.
Итак, средняя скорость движения, скорость и ускорение в момент времени t=4, момент остановки, направление движения после остановки и наибольшая скорость движения на указанном отрезке времени определены.
Для данной функции движения (X(t) = t^2 - 3t), давайте разберёмся с каждым из вопросов.
Средняя скорость на отрезке времени ([t_0, t]) находится по формуле:
[ v_{\text{ср}} = \frac{X(t) - X(t_0)}{t - t_0} ]
В вашем случае (t_0 = 4), и пусть конечный момент времени будет (t_1). Тогда:
[ v_{\text{ср}} = \frac{(t_1^2 - 3t_1) - (4^2 - 3 \cdot 4)}{t_1 - 4} = \frac{t_1^2 - 3t_1 - 16 + 12}{t_1 - 4} = \frac{t_1^2 - 3t_1 - 4}{t_1 - 4} ]
Скорость (v(t)) — это первая производная от функции (X(t)):
[ v(t) = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 3t) = 2t - 3 ]
Подставим (t = 4):
[ v(4) = 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5 ]
Ускорение (a(t)) — это вторая производная от (X(t)):
[ a(t) = \frac{d^2X}{dt^2} = \frac{d}{dt}(2t - 3) = 2 ]
Таким образом, ускорение в любой момент времени, в том числе и при (t = 4), равно 2.
Момент остановки происходит, когда скорость равна нулю:
[ v(t) = 2t - 3 = 0 ]
Решая это уравнение, находим:
[ 2t = 3 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{2} ]
В момент (t = \frac{3}{2}) точка останавливается. Чтобы определить, движется ли она в том же направлении или в противоположном, нужно проверить знак скорости до и после этого момента. Например, для (t < \frac{3}{2}) и (t > \frac{3}{2}):
Это показывает, что точка меняет направление движения после остановки.
Чтобы найти наибольшую скорость, нужно исследовать функцию скорости на экстремумы. Поскольку (v(t) = 2t - 3) — это линейная функция, она монотонно возрастает. Следовательно, наибольшая скорость будет в конце отрезка, если отрезок ограничен. Для отрезка ([t_0, t_1]) наибольшая скорость будет при (t = t_1), и её значение:
[ v_{\text{макс}} = 2t_1 - 3 ]
Таким образом, для любого заданного промежутка времени, для которого определена функция, наибольшая скорость будет достигаться в конце этого промежутка. Если промежуток не задан, тогда скорость будет увеличиваться с увеличением (t).
