X^2-5x-36<0 Решите пожалуйста еще+ нарисуйте паробалу.
X^2-5x-36<0 Решите пожалуйста еще+ нарисуйте паробалу.
Рассмотрим неравенство:
[ x^2 - 5x - 36 < 0 ]
Для решения этого неравенства необходимо выполнить следующие шаги:
Сначала решим квадратное уравнение, связанное с данным неравенством:
[ x^2 - 5x - 36 = 0 ]
Используем дискриминант ( D ), чтобы найти корни. Формула дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac ]
Здесь:
( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -36 ).
Подставляем значения:
[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) ]
[ D = 25 + 144 = 169 ]
Теперь находим корни с помощью формулы:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставляем:
[ x{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} ]
[ x{1,2} = \frac{5 \pm 13}{2} ]
Получаем:
[ x_1 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]
[ x_2 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 ]
Корни квадратного уравнения: ( x_1 = -4 ), ( x_2 = 9 ).
Корни делят числовую ось на три интервала:
Теперь определим знак выражения ( x^2 - 5x - 36 ) на каждом из интервалов. Для этого возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение.
Берем точку ( x = -5 ) (любое число из данного интервала).
Подставляем в ( x^2 - 5x - 36 ):
[ (-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 ]
Значение положительное (( > 0 )).
Берем точку ( x = 0 ).
Подставляем в ( x^2 - 5x - 36 ):
[ (0)^2 - 5(0) - 36 = -36 ]
Значение отрицательное (( < 0 )).
Берем точку ( x = 10 ).
Подставляем в ( x^2 - 5x - 36 ):
[ (10)^2 - 5(10) - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 ]
Значение положительное (( > 0 )).
Так как неравенство ( x^2 - 5x - 36 < 0 ), нас интересует тот интервал, где ( x^2 - 5x - 36 ) отрицательно. Это интервал:
[ (-4, 9) ]
Ответ:
[ x \in (-4, 9) ]
График функции ( y = x^2 - 5x - 36 ) представляет собой параболу, так как это квадратичная функция. Коэффициент при ( x^2 ) (( a = 1 )) положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.
Теперь найдем координату вершины по ( y ):
Подставляем ( x = 2.5 ) в ( y = x^2 - 5x - 36 ):
[ y = (2.5)^2 - 5(2.5) - 36 ]
[ y = 6.25 - 12.5 - 36 = -42.25 ]
Координаты вершины: ( (2.5, -42.25) ).
(К сожалению, я не могу нарисовать график, но вы можете построить его самостоятельно, используя указанные точки и свойства параболы).
Для решения неравенства ( x^2 - 5x - 36 < 0 ) начнем с поиска корней соответствующего квадратного уравнения ( x^2 - 5x - 36 = 0 ).
Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -36 ), а ( D ) - дискриминант, который рассчитывается по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]
Подставим значения: [ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 ]
Теперь найдем корни: [ x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2} ]
Это дает два корня: [ x_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 ] [ x_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]
Теперь у нас есть два корня: ( x_1 = 9 ) и ( x_2 = -4 ). Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:
Теперь нужно определить знак выражения ( x^2 - 5x - 36 ) на каждом из этих интервалов.
Интервал ( (-\infty, -4) ): Выберем, например, ( x = -5 ): [ (-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 > 0 ]
Интервал ( (-4, 9) ): Выберем ( x = 0 ): [ 0^2 - 5 \cdot 0 - 36 = -36 < 0 ]
Интервал ( (9, +\infty) ): Выберем ( x = 10 ): [ 10^2 - 5 \cdot 10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 > 0 ]
Неравенство ( x^2 - 5x - 36 < 0 ) выполняется на интервале ( (-4, 9) ).
Парабола функции ( y = x^2 - 5x - 36 ) открыта вверх (так как коэффициент при ( x^2 ) положительный). Она пересекает ось X в точках ( x = -4 ) и ( x = 9 ), а также имеет вершину.
Вершина параболы находится по формуле: [ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5 ] Подставим ( x = 2.5 ) в уравнение, чтобы найти ( y ): [ y = (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 - 36 = 6.25 - 12.5 - 36 = -42.25 ]
Теперь мы можем нарисовать график:
Решение неравенства: [ (-4, 9) ]
График параболы будет выглядеть как U-образная кривая, которая пересекает ось X в точках ( -4 ) и ( 9 ), и имеет минимум в точке ( (2.5, -42.25) ).
Чтобы решить неравенство (x^2 - 5x - 36 < 0), сначала найдем корни соответствующего уравнения (x^2 - 5x - 36 = 0) с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 ]
Корни уравнения:
[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9 ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4 ]
Теперь у нас есть корни (x_1 = 9) и (x_2 = -4). Парабола, заданная уравнением (y = x^2 - 5x - 36), имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при (x^2) положительный).
Неравенство (x^2 - 5x - 36 < 0) будет выполняться между корнями:
[ -4 < x < 9 ]
Таким образом, решение неравенства:
[ (-4, 9) ]
Теперь, если бы мы нарисовали параболу, то она пересекала бы ось (x) в точках (-4) и (9), а также имела бы минимум между этими точками. Значения функции будут отрицательными (в пределах неравенства) между этими корнями.
