X^2-6x+8 меньше либо равно 0 помогите решить пожалуйста. и рисунок должен быть парабола, оценю сразу

Решим неравенство ( x^2 - 6x + 8 \leq 0 ).

1. Найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - 6x + 8 = 0 ):

   Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 8 ). Подставим эти значения в формулу:

   [ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ]

   Получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 ]

2. Определим интервалы, на которых ( x^2 - 6x + 8 ) изменяет знак:

   Корни уравнения ( x = 2 ) и ( x = 4 ) делят числовую ось на три интервала:

   • ( (-\infty, 2) )
   • ( (2, 4) )
   • ( (4, +\infty) )

3. Проанализируем знак квадратичной функции на каждом из интервалов:

   Выберем контрольные точки для каждого интервала и подставим их в выражение ( x^2 - 6x + 8 ):

   • Для интервала ( (-\infty, 2) ), возьмем ( x = 0 ): [ 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8 \quad (положительное) ]

   • Для интервала ( (2, 4) ), возьмем ( x = 3 ): [ 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \quad (отрицательное) ]

   • Для интервала ( (4, +\infty) ), возьмем ( x = 5 ): [ 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \quad (положительное) ]

4. Определим решение неравенства:

   Нам нужно, чтобы ( x^2 - 6x + 8 \leq 0 ). Из анализа знаков видно, что выражение отрицательно на интервале ( (2, 4) ) и равно нулю в точках ( x = 2 ) и ( x = 4 ).

   Поэтому решением неравенства является: [ x \in [2, 4] ]

5. Построим график функции ( y = x^2 - 6x + 8 ):

   График функции ( y = x^2 - 6x + 8 ) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положительный.

   Ниже представлен рисунок параболы:

   [ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[

   axis lines = middle,
   xlabel = $x$,
   ylabel = $y$,
   grid = both,
   xmin=-1, xmax=7,
   ymin=-1, ymax=10,
   samples=100
   

   ] \addplot[

   domain=-1:7,
   thick,
   blue
   

   ] {x^2 - 6x + 8}; \addplot[mark=] coordinates {(2,0) (4,0)}; \end{axis} \end{tikzpicture} ]

   На графике видно, что парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = 2 ) и ( x = 4 ). На интервале ( [2, 4] ) парабола лежит ниже или на уровне оси ( x ), что соответствует нашему решению неравенства.

Для решения неравенства X^2 - 6x + 8 ≤ 0, сначала найдем корни квадратного уравнения X^2 - 6x + 8 = 0.

Дискриминант D = (-6)^2 - 418 = 36 - 32 = 4.

Корни уравнения: X1,2 = (6 ± √4) / 2 = (6 ± 2) / 2 X1 = 4, X2 = 2.

Теперь построим график параболы Y = X^2 - 6x + 8. Парабола будет направлена вверх, так как коэффициент при X^2 положительный. Корни уравнения (2 и 4) разделяют параболу на три части: между корнями и снаружи корней.

Из условия неравенства X^2 - 6x + 8 ≤ 0 следует, что график параболы должен находиться ниже оси Х (то есть в области, где Y меньше или равно 0). Это происходит между корнями уравнения, то есть для X принадлежащих от 2 до 4.

Таким образом, решением неравенства X^2 - 6x + 8 ≤ 0 является интервал [2, 4].