X^3-6x^2-15x+7 найдите точки экстремума функции

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и решить уравнение.

Для нахождения точек экстремума функции (f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7) необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем используем тест на экстремумы, чтобы определить, является ли точка локальным максимумом или минимумом.

1. Найдем производную функции (f(x)): (f'(x) = 3x^2 - 12x - 15).

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: (3x^2 - 12x - 15 = 0). Далее решим это квадратное уравнение и найдем значения x.

3. Найдем вторую производную функции (f(x)): (f''(x) = 6x - 12).

4. Подставим найденные критические точки во вторую производную и определим, является ли точка экстремумом.

5. Если (f''(x) > 0), то точка является локальным минимумом. Если (f''(x) < 0), то точка является локальным максимумом.

Таким образом, следует вычислить критические точки, подставить их во вторую производную и определить их характер (минимум или максимум).

Для нахождения точек экстремума функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7 ) необходимо выполнить несколько шагов, связанных с вычислением производных и исследованием их знаков.

Шаг 1: Найдите первую производную

Первая производная функции ( f(x) ) позволяет определить, где функция возрастает или убывает, а также найти критические точки, которые могут быть точками экстремума.

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 - 15x + 7) ]

Вычислим производную:

[ f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся путем решения уравнения ( f'(x) = 0 ).

[ 3x^2 - 12x - 15 = 0 ]

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

[ x^2 - 4x - 5 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение:

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ).

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} ]

Таким образом, корни:

[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 ]

[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 ]

Шаг 3: Определите характер критических точек

Для определения типа экстремума (минимум или максимум) используем второй производной тест. Найдем вторую производную функции:

[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x - 15) ]

[ f''(x) = 6x - 12 ]

Теперь вычислим значение второй производной в критических точках:

1. Для ( x = -1 ):

[ f''(-1) = 6(-1) - 12 = -6 - 12 = -18 ]

Поскольку ( f''(-1) < 0 ), это точка максимума.

1. Для ( x = 5 ):

[ f''(5) = 6(5) - 12 = 30 - 12 = 18 ]

Поскольку ( f''(5) > 0 ), это точка минимума.

Итог

Функция имеет максимум в точке ( x = -1 ) и минимум в точке ( x = 5 ).