X^4 - 5x^2-36=0,Решить уравнение.

Для решения данного уравнения сначала введем новую переменную: пусть (y = x^2). Тогда исходное уравнение примет вид: (y^2 - 5y - 36 = 0).

Далее найдем корни квадратного уравнения (y^2 - 5y - 36 = 0): [D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169] [y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}]

Таким образом, получаем два возможных значения для (y): [y_1 = 9, y_2 = -4]

Теперь подставляем обратно (y = x^2): [x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3] [x^2 = -4 \Rightarrow \text{решений нет}]

Итак, у уравнения (x^4 - 5x^2 - 36 = 0) два действительных корня: (x_1 = 3, x_2 = -3).

Для решения уравнения ( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 ), можно использовать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть ( y = x^2 ), тогда уравнение принимает вид:

[ y^2 - 5y - 36 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно ( y ). Квадратное уравнение общего вида ( ay^2 + by + c = 0 ) имеет корни, которые можно найти по формуле:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -36 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} ] [ y = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} ] [ y = \frac{5 \pm 13}{2} ]

Таким образом, получаем два значения для ( y ): [ y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9 ] [ y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4 ]

Так как ( y = x^2 ) и ( x^2 ) не может быть отрицательным, отбрасываем значение ( y_2 = -4 ). Остаётся ( y = 9 ), откуда ( x^2 = 9 ). Тогда:

[ x = \pm \sqrt{9} ] [ x = \pm 3 ]

Итак, корни уравнения ( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 ) это ( x = 3 ) и ( x = -3 ).