X^(log2 5)+5^(log2 x)=10

Для решения данного уравнения нужно использовать свойства логарифмов и экспонент. Сначала преобразуем уравнение: x^(log2 5) + 5^(log2 x) = 10 Применим свойство логарифмов: a^(log_a b) = b, тогда получим: 5 + x = 10 x = 10 - 5 x = 5

Итак, решением уравнения x^(log2 5) + 5^(log2 x) = 10 является x = 5.

x = 2

Рассмотрим уравнение ( x^{\log_2 5} + 5^{\log_2 x} = 10 ).

Это уравнение выглядит сложным из-за наличия логарифмов в степенях, но его можно упростить, используя свойства степеней и логарифмов.

Замена переменных

Попробуем сделать замену переменных для упрощения уравнения. Пусть:

[ a = \log_2 x ]

Тогда:

[ x = 2^a ]

Теперь подставим обратно в уравнение:

1. ( x^{\log_2 5} = (2^a)^{\log_2 5} = 2^{a \cdot \log_2 5} = 5^a )

2. ( 5^{\log_2 x} = 5^a )

Теперь уравнение становится:

[ 5^a + 5^a = 10 ]

[ 2 \cdot 5^a = 10 ]

Разделим обе стороны на 2:

[ 5^a = 5 ]

Таким образом, ( a = 1 ).

Найдем ( x )

Мы знаем, что:

[ a = \log_2 x = 1 ]

Отсюда:

[ x = 2^1 = 2 ]

Проверка

Подставим ( x = 2 ) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться в корректности:

[ x^{\log_2 5} + 5^{\log_2 x} = 2^{\log_2 5} + 5^{\log_2 2} ]

Поскольку ( \log_2 5 ) соответствует степени, при которой основание 2 станет 5, и поскольку ( \log_2 2 = 1 ), то:

[ 2^{\log_2 5} = 5 ] [ 5^{\log_2 2} = 5 ]

Таким образом:

[ 5 + 5 = 10 ]

Уравнение выполняется, следовательно, ( x = 2 ) — правильное решение.