{X²+y²=25{x-y=7 Решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнений:

[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \ x - y = 7 \end{cases} ]

следуем следующим шагам.

1. Выразим одну переменную через другую:

   Из второго уравнения выразим ( y ) через ( x ):

   [ y = x - 7 ]

2. Подставим выражение для ( y ) в первое уравнение:

   [ x^2 + (x - 7)^2 = 25 ]

3. Раскроем скобки и приведём подобные члены:

   [ x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 25 ]

   [ x^2 + x^2 - 14x + 49 = 25 ]

   [ 2x^2 - 14x + 49 = 25 ]

4. Перенесём все члены на одну сторону уравнения:

   [ 2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0 ]

   [ 2x^2 - 14x + 24 = 0 ]

5. Упростим уравнение, разделив на 2:

   [ x^2 - 7x + 12 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение:

   Для решения квадратного уравнения ( x^2 - 7x + 12 = 0 ) используем формулу для корней квадратного уравнения:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   где ( a = 1 ), ( b = -7 ), ( c = 12 ).

   Подставим значения:

   [ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} ]

   [ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} ]

   [ x = \frac{7 \pm 1}{2} ]

   Таким образом, получаем два значения для ( x ):

   [ x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 ]

   [ x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 ]

7. Найдём соответствующие значения для ( y ):

   Подставим найденные значения ( x ) в выражение ( y = x - 7 ):

   Для ( x = 4 ):

   [ y = 4 - 7 = -3 ]

   Для ( x = 3 ):

   [ y = 3 - 7 = -4 ]

8. Запишем решения:

   Решениями системы уравнений являются следующие пары ((x, y)):

   [ (4, -3) \quad \text{и} \quad (3, -4) ]

Таким образом, система уравнений

[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \ x - y = 7 \end{cases} ]

имеет два решения: ((4, -3)) и ((3, -4)).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим y через x: y = x - 7 Подставим это выражение в первое уравнение: x² + (x - 7)² = 25 Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x² + x² - 14x + 49 = 25 2x² - 14x + 24 = 0 Далее решим квадратное уравнение: D = (-14)² - 4224 = 196 - 192 = 4 x₁,₂ = (14 ± √4) / 4 = (14 ± 2) / 4 x₁ = 4, x₂ = 3

Подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x - 7: Для x₁: y₁ = 4 - 7 = -3 Для x₂: y₂ = 3 - 7 = -4

Итак, получаем два решения системы уравнений: x₁ = 4, y₁ = -3 x₂ = 3, y₂ = -4

1. Метод исключения переменных: Выразим y из второго уравнения: y = x - 7 Подставим это выражение в первое уравнение: x² + (x - 7)² = 25 x² + x² - 14x + 49 = 25 2x² - 14x + 24 = 0 x² - 7x + 12 = 0 (x - 3)(x - 4) = 0

Получаем два корня x₁ = 3, x₂ = 4. Подставляем их обратно в уравнение y = x - 7: Для x₁: y₁ = 3 - 7 = -4 Для x₂: y₂ = 4 - 7 = -3

Итак, получаем два решения системы уравнений: x₁ = 3, y₁ = -4 x₂ = 4, y₂ = -3

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (3, -4) и (4, -3).

x = 6, y = -1