Y=3x^4-4x^3 Исследовать на экстремум по второй производной. Помогитее

Для исследования функции ( Y = 3x^4 - 4x^3 ) на экстремумы с помощью второй производной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Находим первую производную функции ( Y ): [ Y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^3) ] Применим правило дифференцирования для каждого члена: [ Y' = 12x^3 - 12x^2 ]

2. Находим критические точки, решив уравнение ( Y' = 0 ): [ 12x^3 - 12x^2 = 0 ] Вынесем общий множитель за скобку: [ 12x^2 (x - 1) = 0 ] Решаем уравнение: [ 12x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x - 1 = 0 ] Отсюда: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 ] Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

3. Находим вторую производную функции ( Y ): [ Y'' = \frac{d}{dx}(12x^3 - 12x^2) ] Применим правило дифференцирования: [ Y'' = 36x^2 - 24x ]

4. Определяем характер критических точек, подставляя их во вторую производную:

   • Для ( x = 0 ): [ Y''(0) = 36(0)^2 - 24(0) = 0 ] В данном случае, вторая производная равна нулю, поэтому нужно провести дополнительный анализ, чтобы определить характер этой точки.

   • Для ( x = 1 ): [ Y''(1) = 36(1)^2 - 24(1) = 36 - 24 = 12 ] Поскольку ( Y''(1) > 0 ), это указывает на то, что ( x = 1 ) является точкой минимума функции ( Y ).

5. Дополнительный анализ для ( x = 0 ): Поскольку вторая производная в точке ( x = 0 ) равна нулю, нужно проверить знак первой производной в окрестностях этой точки, чтобы определить её характер.

   • Рассмотрим значение первой производной слева от ( x = 0 ) (например, при ( x = -1 )): [ Y'(-1) = 12(-1)^3 - 12(-1)^2 = -12 - 12 = -24 ] Значение отрицательное.

   • Рассмотрим значение первой производной справа от ( x = 0 ) (например, при ( x = 1 )): [ Y'(1) = 12(1)^3 - 12(1)^2 = 12 - 12 = 0 ] Значение равно нулю.

   Из этого анализа видно, что ( x = 0 ) может быть точкой перегиба, так как знак первой производной меняется (с отрицательного на ноль).

Таким образом, функция ( Y = 3x^4 - 4x^3 ) имеет:

• Точку минимума при ( x = 1 ).
• Точку ( x = 0 ), которая требует дополнительного анализа, но скорее всего является точкой перегиба.

Для исследования функции Y=3x^4-4x^3 на экстремум по второй производной нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции Y по переменной x: Y' = 12x^3 - 12x^2

2. Найдем вторую производную функции Y, взяв производную от первой производной: Y'' = 36x^2 - 24x

3. Найдем точки экстремума, приравняв вторую производную к нулю и решив уравнение: 36x^2 - 24x = 0 4x(9x - 6) = 0 x = 0 или x = 6/9 = 2/3

4. Далее определим характер экстремума в найденных точках. Для этого проверим знак второй производной в каждой из точек:

   • При x = 0: Y''(0) = 0 - 0 = 0, нельзя сделать вывод о характере экстремума.
   • При x = 2/3: Y''(2/3) = 36(2/3)^2 - 24(2/3) = 36*(4/9) - 16 = 16 - 16 = 0, нельзя сделать вывод о характере экстремума.

Таким образом, функция Y=3x^4-4x^3 не имеет точек экстремума по второй производной.