Y=3x^4-4x^3 Исследовать на экстремум по второй производной. Помогитее

Для исследования функции $Y=3x^4-4x^3$ на экстремумы с помощью второй производной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Находим первую производную функции $Y$: $Y^{\prime }=\frac{d}{dx}(3x^4-4x^3)$ Применим правило дифференцирования для каждого члена: $Y^{\prime }=12x^3-12x^2$

2. Находим критические точки, решив уравнение $Y^{\prime }=0$: $12x^3-12x^2=0$ Вынесем общий множитель за скобку: $12x^2(x-1)=0$ Решаем уравнение: $12x^2=0\text{или}x-1=0$ Отсюда: $x=0\text{или}x=1$ Таким образом, критические точки: $x=0$ и $x=1$.

3. Находим вторую производную функции $Y$: $Y^{″}=\frac{d}{dx}(12x^3-12x^2)$ Применим правило дифференцирования: $Y^{″}=36x^2-24x$

4. Определяем характер критических точек, подставляя их во вторую производную:

   • Для $x=0$: $Y^{″}(0)=36(0{)}^2-24(0)=0$ В данном случае, вторая производная равна нулю, поэтому нужно провести дополнительный анализ, чтобы определить характер этой точки.

   • Для $x=1$: $Y^{″}(1)=36(1{)}^2-24(1)=36-24=12$ Поскольку $Y^{″}(1$ > 0 ), это указывает на то, что $x=1$ является точкой минимума функции $Y$.

5. Дополнительный анализ для $x=0$: Поскольку вторая производная в точке $x=0$ равна нулю, нужно проверить знак первой производной в окрестностях этой точки, чтобы определить её характер.

   • Рассмотрим значение первой производной слева от $x=0$ $например,при(x=-1$): $Y^{\prime }(-1)=12(-1{)}^3-12(-1{)}^2=-12-12=-24$ Значение отрицательное.

   • Рассмотрим значение первой производной справа от $x=0$ $например,при(x=1$): $Y^{\prime }(1)=12(1{)}^3-12(1{)}^2=12-12=0$ Значение равно нулю.

   Из этого анализа видно, что $x=0$ может быть точкой перегиба, так как знак первой производной меняется $сотрицательногонаноль$.

Таким образом, функция $Y=3x^4-4x^3$ имеет:

• Точку минимума при $x=1$.
• Точку $x=0$, которая требует дополнительного анализа, но скорее всего является точкой перегиба.

Для исследования функции Y=3x^4-4x^3 на экстремум по второй производной нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции Y по переменной x: Y' = 12x^3 - 12x^2

2. Найдем вторую производную функции Y, взяв производную от первой производной: Y'' = 36x^2 - 24x

3. Найдем точки экстремума, приравняв вторую производную к нулю и решив уравнение: 36x^2 - 24x = 0 4x$9x-6$ = 0 x = 0 или x = 6/9 = 2/3

4. Далее определим характер экстремума в найденных точках. Для этого проверим знак второй производной в каждой из точек:

   • При x = 0: Y''$0$ = 0 - 0 = 0, нельзя сделать вывод о характере экстремума.
   • При x = 2/3: Y''$2/3$ = 36$2/3$^2 - 24$2/3$ = 36*$4/9$ - 16 = 16 - 16 = 0, нельзя сделать вывод о характере экстремума.

Таким образом, функция Y=3x^4-4x^3 не имеет точек экстремума по второй производной.