Y=8+2x^2-x^4 найти экстремум

Для нахождения экстремумов функции ( y = 8 + 2x^2 - x^4 ) необходимо исследовать её первую и вторую производные.

1. Находим первую производную ( y' ):

   [ y' = \frac{d}{dx}(8 + 2x^2 - x^4) = 0 + 4x - 4x^3 = 4x - 4x^3 ]

2. Находим критические точки:

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

   [ 4x - 4x^3 = 0 ]

   Вынесем общий множитель:

   [ 4x(1 - x^2) = 0 ]

   Это уравнение имеет решения:

   [ 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ] [ 1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 ]

   Таким образом, критические точки: ( x = -1, 0, 1 ).

3. Находим вторую производную ( y'' ):

   [ y'' = \frac{d}{dx}(4x - 4x^3) = 4 - 12x^2 ]

4. Определяем характер экстремумов с помощью второй производной:

   • Для ( x = 0 ):

     [ y''(0) = 4 - 12 \cdot 0^2 = 4 ]

     Поскольку ( y''(0) > 0 ), в точке ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум.

   • Для ( x = 1 ):

     [ y''(1) = 4 - 12 \cdot 1^2 = 4 - 12 = -8 ]

     Поскольку ( y''(1) < 0 ), в точке ( x = 1 ) функция имеет локальный максимум.

   • Для ( x = -1 ):

     [ y''(-1) = 4 - 12 \cdot (-1)^2 = 4 - 12 = -8 ]

     Поскольку ( y''(-1) < 0 ), в точке ( x = -1 ) функция имеет локальный максимум.

5. Значения функции в критических точках:

   • ( y(0) = 8 + 2 \cdot 0^2 - 0^4 = 8 )
   • ( y(1) = 8 + 2 \cdot 1^2 - 1^4 = 8 + 2 - 1 = 9 )
   • ( y(-1) = 8 + 2 \cdot (-1)^2 - (-1)^4 = 8 + 2 - 1 = 9 )

Таким образом, экстремумы функции:

• Локальный минимум в точке ( x = 0 ) с значением ( y = 8 ).
• Локальные максимумы в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ) с значением ( y = 9 ).

Для нахождения экстремума данной функции сначала необходимо найти производные первого и второго порядка.

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = 4x^3 - 8x

2. Найдем вторую производную функции y по x: y'' = 12x^2 - 8

3. Далее найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение: 4x^3 - 8x = 0 4x(x^2 - 2) = 0 x = 0, x = √2, x = -√2

4. Теперь найдем значение функции в найденных критических точках: Подставляем x = 0: y(0) = 8 + 2*0^2 - 0^4 = 8

Подставляем x = √2: y(√2) = 8 + 2(√2)^2 - (√2)^4 = 8 + 22 - 2 = 10

Подставляем x = -√2: y(-√2) = 8 + 2(-√2)^2 - (-√2)^4 = 8 + 22 - 2 = 10

Таким образом, найдены значения экстремумов функции при x = 0 (y = 8), x = √2 (y = 10) и x = -√2 (y = 10).

Экстремумы функции y=8+2x^2-x^4 находятся в точках, где производная равна нулю. Таким образом, найдем производную функции: y' = 4x^3 - 4x Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0, x = -1, x = 1 Теперь найдем значения функции в найденных точках: y(0) = 8 y(-1) = 11 y(1) = 9 Следовательно, экстремумы функции находятся в точках (0, 8), (-1, 11) и (1, 9).