Y=tgx+ctgx найти производную функции и упростить

Для нахождения производной функции Y=tgx+ctgx сначала найдем производные от каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная от tgx: Y1 = tgx = sinx/cosx Y1' = (cosx cosx - (-sinx) sinx)/(cosx)^2 = (cos^2x + sin^2x)/(cosx)^2 = 1/(cosx)^2 = sec^2x

2. Производная от ctgx: Y2 = ctgx = 1/tgx = cosx/sinx Y2' = (sinx sinx - cosx (-cosx))/(sinx)^2 = (sin^2x + cos^2x)/(sinx)^2 = 1/(sinx)^2 = csc^2x

Теперь найдем производную от суммы: Y' = Y1' + c Y2' = sec^2x + c csc^2x, где c - константа

Таким образом, производная функции Y=tgx+ctgx равна sec^2x + c * csc^2x.

Чтобы найти производную функции ( y = \tan(x) + \cot(x) ) и упростить её, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную каждого слагаемого:

   Производная тангенса: [ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) ] Здесь (\sec(x)) обозначает секанс, который равен ( \frac{1}{\cos(x)} ), и его квадрат: ( \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} ).

   Производная котангенса: [ \frac{d}{dx} (\cot(x)) = -\csc^2(x) ] Здесь (\csc(x)) обозначает косеканс, который равен ( \frac{1}{\sin(x)} ), и его квадрат: ( \csc^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} ).

2. Сложим производные:

   Теперь, когда мы нашли производные каждого слагаемого, можем сложить их: [ y' = \frac{d}{dx} (\tan(x)) + \frac{d}{dx} (\cot(x)) = \sec^2(x) - \csc^2(x) ]

3. Упростим выражение:

   Воспользуемся тригонометрическими идентичностями, чтобы упростить результат. Напомним, что: [ \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) ] [ \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) ]

   Подставим эти идентичности в наше выражение: [ y' = (1 + \tan^2(x)) - (1 + \cot^2(x)) ]

   Раскроем скобки и упростим: [ y' = 1 + \tan^2(x) - 1 - \cot^2(x) = \tan^2(x) - \cot^2(x) ]

   Таким образом, упрощенное выражение для производной функции ( y = \tan(x) + \cot(x) ): [ y' = \tan^2(x) - \cot^2(x) ]

Итак, производная функции ( y = \tan(x) + \cot(x) ) равна ( \tan^2(x) - \cot^2(x) ).