y=(x^2-1)/(x^2 +1) найти производную функции.
y=(x^2-1)/(x^2 +1) найти производную функции.
Для нахождения производной данной функции y=(x^2-1)/(x^2 +1) воспользуемся правилом дифференцирования частного. Сначала найдем производные числителя и знаменателя по отдельности.
Найдем производную числителя (x^2-1): (dy/dx) = d/dx (x^2-1) = 2x
Найдем производную знаменателя (x^2+1): (dy/dx) = d/dx (x^2+1) = 2x
Теперь применим правило дифференцирования частного: (dy/dx) = [(2x) (x^2+1) - (2x) (x^2-1)] / (x^2 +1)^2
(dy/dx) = [2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x] / (x^2 +1)^2
(dy/dx) = 4x / (x^2 +1)^2
Таким образом, производная функции y=(x^2-1)/(x^2 +1) равна 4x / (x^2 +1)^2.
Чтобы найти производную функции ( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ), нам нужно воспользоваться правилом дифференцирования частного.
Формула для производной частного двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) выглядит так: [ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]
В нашем случае: [ u(x) = x^2 - 1 ] [ v(x) = x^2 + 1 ]
Теперь найдем производные ( u(x) ) и ( v(x) ): [ u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x ] [ v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x ]
Подставим эти производные в формулу для производной частного: [ y' = \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} ] [ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)2x}{(x^2 + 1)^2} ]
Теперь упростим числитель: [ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} ] [ y' = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} ] [ y' = \frac{2x + 2x}{(x^2 + 1)^2} ] [ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} ]
Таким образом, производная функции ( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) равна: [ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} ]
