Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме : a)2+2√3i б) -3-2i

Запись комплексного числа в стандартной тригонометрической форме предполагает представление числа в виде ( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) ), где ( r ) — модуль комплексного числа, а ( \theta ) — аргумент (угол) числа. Рассмотрим каждый пример по отдельности.

Пример а) ( z = 2 + 2\sqrt{3}i )

1. Нахождение модуля (r): Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как: [ r = \sqrt{a^2 + b^2} ] В нашем случае ( a = 2 ) и ( b = 2\sqrt{3} ). Тогда: [ r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 ]

2. Нахождение аргумента (θ): Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ] В нашем случае: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) ] Зная, что (\tan(\pi/3) = \sqrt{3}), получаем: [ \theta = \frac{\pi}{3} ]

3. Запись в тригонометрической форме: Теперь, подставив найденные значения ( r ) и ( \theta ), получаем: [ z = 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) ]

Пример б) ( z = -3 - 2i )

1. Нахождение модуля (r): Модуль комплексного числа определяется как: [ r = \sqrt{a^2 + b^2} ] В нашем случае ( a = -3 ) и ( b = -2 ). Тогда: [ r = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} ]

2. Нахождение аргумента (θ): Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ] В нашем случае: [ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) ] Так как ( z = -3 - 2i ) лежит в третьем квадранте, необходимо добавить (\pi): [ \theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) ]

3. Запись в тригонометрической форме: Подставив найденные значения ( r ) и ( \theta ), получаем: [ z = \sqrt{13}\left(\cos\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) + i\sin\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\right) ]

Итог

• Для ( z = 2 + 2\sqrt{3}i ): [ z = 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) ]
• Для ( z = -3 - 2i ): [ z = \sqrt{13}\left(\cos\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) + i\sin\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\right) ]

Эти записи представляют комплексные числа в стандартной тригонометрической форме.

а) Для комплексного числа 2+2√3i сначала найдем модуль: |2+2√3i| = √(2^2 + (2√3)^2) = √(4 + 12) = √16 = 4. Затем найдем аргумент: tgα = Im/Re = 2√3/2 = √3 => α = π/3. Таким образом, комплексное число 2+2√3i в стандартной тригонометрической форме будет записываться как 4(cos(π/3) + i*sin(π/3)).

б) Для комплексного числа -3-2i найдем модуль: |-3-2i| = √((-3)^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13. Затем найдем аргумент: tgα = Im/Re = -2/-3 = 2/3 => α = arctg(2/3). Таким образом, комплексное число -3-2i в стандартной тригонометрической форме будет записываться как √13(cos(arctg(2/3)) + i*sin(arctg(2/3))).