Здравствуйте, помогите решить задание, очень срочно log2 10-2log2 5+log2 40

Здравствуйте! Давайте решим выражение ( \log_2 10 - 2\log_2 5 + \log_2 40 ) шаг за шагом.

1. Используем свойства логарифмов:

   • Первое свойство, которое мы применим, это ( a\log_b c = \log_b c^a ). Применим его к второму члену: [ 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25 ] Теперь наше выражение выглядит так: [ \log_2 10 - \log_2 25 + \log_2 40 ]

2. Используем свойства логарифмов для объединения:

   • Второе свойство логарифмов, которое нам пригодится, это ( \log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right) ) и ( \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) ).
   • Объединим ( \log_2 10 ) и ( -\log_2 25 ): [ \log_2 10 - \log_2 25 = \log_2 \left(\frac{10}{25}\right) = \log_2 \left(\frac{2}{5}\right) ] Теперь у нас остается: [ \log_2 \left(\frac{2}{5}\right) + \log_2 40 ]

3. Объединяем оставшиеся логарифмы:

   • Применяем свойство сложения логарифмов: [ \log_2 \left(\frac{2}{5}\right) + \log_2 40 = \log_2 \left(\frac{2}{5} \cdot 40\right) ]
   • Упрощаем выражение внутри логарифма: [ \frac{2}{5} \cdot 40 = \frac{80}{5} = 16 ] Таким образом, мы имеем: [ \log_2 16 ]

4. Находим окончательный результат:

   • Поскольку ( 16 = 2^4 ), мы можем записать: [ \log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4 ]

Таким образом, итоговый ответ: [ \log_2 10 - 2\log_2 5 + \log_2 40 = 4 ]

Здравствуйте! Давайте разберёмся с вашим заданием тщательно и по шагам:

Задано выражение:

[ \log_2 10 - 2\log_2 5 + \log_2 40 ]

Мы будем использовать свойства логарифмов для упрощения выражения:

Свойства логарифмов:

1. (\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y) (логарифм произведения).
2. (\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y) (логарифм частного).
3. (k\log_a x = \log_a x^k) (вынесение коэффициента как степени).

Шаг 1. Упростим каждый логарифм:

• Оставим (\log_2 10) без изменений на данный момент.
• Преобразуем (2\log_2 5) с использованием свойства (k\log_a x = \log_a x^k): [ 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25. ]
• Логарифм (\log_2 40) также пока оставим без изменений.

Теперь выражение выглядит так: [ \log_2 10 - \log_2 25 + \log_2 40. ]

Шаг 2. Используем свойство логарифма разности:

Используем свойство (\log_a(x) - \log_a(y) = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)) для первых двух логарифмов: [ \log_2 10 - \log_2 25 = \log_2\left(\frac{10}{25}\right). ]

Упростим дробь внутри логарифма: [ \frac{10}{25} = \frac{2}{5}. ]

Тогда: [ \log_2 10 - \log_2 25 = \log_2\left(\frac{2}{5}\right). ]

Теперь выражение стало: [ \log_2\left(\frac{2}{5}\right) + \log_2 40. ]

Шаг 3. Используем свойство логарифма суммы:

Применим свойство (\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)): [ \log_2\left(\frac{2}{5}\right) + \log_2 40 = \log_2\left(\frac{2}{5} \cdot 40\right). ]

Выполним умножение внутри логарифма: [ \frac{2}{5} \cdot 40 = \frac{80}{5} = 16. ]

Тогда: [ \log_2\left(\frac{2}{5}\right) + \log_2 40 = \log_2 16. ]

Шаг 4. Найдём значение (\log_2 16):

Число 16 — это (2^4), поэтому: [ \log_2 16 = 4. ]

Итог:

Значение заданного выражения равно: [ \log_2 10 - 2\log_2 5 + \log_2 40 = 4. ]

Надеюсь, это объяснение было понятным! Если будут дополнительные вопросы, обращайтесь. 😊